SEGUNDO GRADO
PROFR. ROLANDO CASTILLEJOS OLIVAS
CONTINGENCIA MARZO 2020
OMITIR LOS EJERCICIOS DONDE NO SE VEA LA IMAGEN
EJERCICIOS PROPUESTOS
Calcula el área de los
ortoedros cuyas longitudes vienen dadas en centímetros.
|
a)
|
b)
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|
|
2
|
|
6
|
1
|
|
|
5
|
|
|
6
|
|
|
6
|
a)
El cuerpo es un cubo:
A 6a2 6 62 6 36
216 cm2.
b) A 2ab 2ac 2bc 2 (5
2) 2 (5
1) 2 (1
2) 20 10
4 34 cm2
Calcula el área total de los siguientes prismas cuyas longitudes vienen
dadas en centímetros.
|
a)
|
b)
|
3
|
4
|
|
|
6
|
6
|
|
|
|
|
|
|
|
3
|
2
|
|
|
a) Perímetro de la base:
p 3 5 15 cm
El prisma es regular,
luego se puede aplicar la fórmula: ATOTAL p(a h) 15 (2 6) 15 8 120 cm2
b) Hipotenusa del triángulo de la base: 32 42 9 16 25 5 cm
Perímetro de la base: p 3 4 5 12 cm
A LATERAL p h 12 6 72 cm2
|
1
|
4
|
12 cm
|
2
|
|
A BASES 23
|
|
||
|
2
|
|
|
|
ATOTAL 72
cm2 12
cm2 84 cm2
Calcula el área total de
las siguientes pirámides.
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a)
|
|
|
|
|
|
b)
|
|
|
|
6 cm
|
|
|
|
|
|
8 cm
|
2,8
cm
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 cm
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 cm
|
|
|
a) Calculamos el área lateral y de la base:
|
|
|
|
|
||||
|
A LATERAL
|
1
|
1
|
6
|
48 cm
|
2
|
|
|
|
|
p A16
|
|
|
|
|
||||
|
|
2
|
2
|
|
|
|
|
|
|
|
A BASE l2
|
4 416 cm2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ATOTAL 48 cm2 16 cm2 64 cm2
|
|
|
|
|
||||
|
b) Como la pirámide es regular, aplicamos la
fórmula:
|
|
|
|
|||||
|
1
|
|
1
|
5)
|
(2,88)
|
10 10,8108 cm
|
2
|
||
|
ATOTALp(a A)(4
|
|
|||||||
|
2
|
|
2
|
|
|
|
|
|
|
SISTEMAS DE ECUACIONES
DE PRIMER GRADO
1) Utilizando el método de
sustitución, resuelve:
a)
2x + 5y = 1 3x b) − x + y = 3 2x
+ 7y = 5
− 4y = −9
2)
Utilizando
el método de igualación, resuelve:
4x + y = −3 2x
a) b)
− 3x + y = 11 6x
− y = −4
+ 5y = 12
3)
Utilizando
el método de reducción, resuelve:
3x − 2y = 1 x − 4y = −5
a) b)
4x − y = 0 3x − 8y = 1
4x + 9y = 1 5x − 2y = 10
c) d)
7x − 8y = −9 4x + 2y = 8
c)
Resuelve
los sistemas de ecuaciones que siguen por el procedimiento que consideres más
conveniente:
|
2x − y = 6
|
|
x + 2y = 5
|
|
||||||||||||||||||
|
a)
|
|
|
|
|
|
|
b)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
4x +
|
2y = 3
|
|
5(x − y) − 3x + y = 10
|
||||||||||||||||||
|
x + 1 y − 1
|
|
x
|
|
y
|
7
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
+
|
|
|
=
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
−
|
|
|
= 1
|
|
5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
c)3
|
2
|
|
|
d) 3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
4( x + y) = 4
|
x
|
|
y
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
|
|
||||||||
|
|
−= −
|
|
|||||||||||||||||||
|
7x −
|
3
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
4x − 3y = 2
|
|
x + y x − y
|
3
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
−
|
|
|
|
|
=
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2
|
|
|
|
|
|
3
|
|
|
|||||
|
e)
|
|
y
|
|
f)
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2x +
|
|
= 1
|
|
x + 2y x − 2y
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−
|
|
|
|
|
= 3
|
||||
|
|
|
|
|
|
3
|
|
|
|
|
|
4
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a)
La otra
tarde vi en un parking 39 vehículos, entre coches y motos, a los que les conté
un total de 126 ruedas. ¿Cuántos
vehículos de cada clase había en el parking?
b)
En el
aula de 3º A hay doble número de alumnos que en el aula de 3º C. Además se sabe
que, si se pasan 8 alumnos de 3º A a 3º C, ambas aulas tendrán el mismo número
de alumnos. ¿Cuántos alumnos hay en cada una
de estas aulas?
c)
Un
fabricante de bombillas gana 0,60 € por cada bombilla que sale de fábrica, pero
pierde 0,80 € por cada una que sale defectuosa. Un determinado día en el que
fabricó 2.100 bombillas obtuvo un beneficio de 966 €. ¿Cuántas bombillas buenas fabricó ese día?
a)
En un
test de elección múltiple, se puntúa 4 por cada respuesta correcta y se resta
un punto por una equivocada. Un estudiante responde a 17 cuestiones y obtiene
43 puntos. ¿Cuántas cuestiones respondió correctamente?
b)
Una
tienda de discos vende 84 discos a dos precios distintos: unos $18 y otros a $14,4
, obteniendo de la venta $1.242 , ¿Cuántos discos vendió de cada clase?
c)
Hace 5
años, la edad de Sonia era triple que la de Roberto, y dentro de 10 años será
doble. ¿Qué edad tiene cada uno?
d)
Calcula
las dimensiones de una parcela rectangular sabiendo que es 25 m más larga que
ancha y que el perímetro mide 210 metros.
e)
Un
orfebre recibe el encargo de confeccionar un trofeo, en oro y en plata, para un
campeonato deportivo. Una vez realizado, resulta de un peso de 1.300 gramos,
habiendo costado $2,840 .
¿Qué cantidad ha utilizado de cada metal
precioso, si el oro sale $8 /gramo y la plata por $1,7 /gramo?
f)
La edad
de un padre es el triple de la de su hija más 2 años y hace 5 años la
cuadriplicaba. ¿Qué edades tienen padre e hija?
g)
La suma
de edades de una madre y su hija es 42 años. Cuando la hija tenga la edad de la
madre esa suma será de 90. ¿Cuántos
años tienen cada una en la actualidad?
h)
Un
individuo posee 20 monedas, unas son de $0,50 y otras de $1. ¿Puede tener un
total de $16?
NOTA:
RESUELVE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS EN HOJAS BLANCAS CON UNA PORTADA CON
TUS DATOS, DIVIDE TODOS LOS EJERCICIOS EN 10 SESIONES Y OCUPATE DE ELLOS
DIARIAMENTE EN UN HORARIO QUE ESTABLESCAS, SE DISCIPLINADO (A).
CUANDO
SE REANUDEN LAS CLASES DEBERAS ENTREGARLOS A TU PROFESOR, ES MATERIAL EVALUABLE
TERCER GRADO
MATEMATICAS III
PROFR. ROLANDO CASTILLEJOS OLIVAS
PLAN DE CONTINGENCIA MARZO 2020
NOTA:
RESUELVE
LOS SIGUIENTES EJERCICIOS EN HOJAS BLANCAS CON UNA PORTADA CON TUS DATOS,
DIVIDE TODOS LOS EJERCICIOS EN 10 SESIONES Y OCUPATE DE ELLOS DIARIAMENTE EN UN
HORARIO QUE ESTABLESCAS, SE DISCIPLINADO (A).
CUANDO
SE REANUDEN LAS CLASES DEBERAS ENTREGARLOS A TU PROFESOR, ES MATERIAL EVALUABLE
Ejercicios Ecuaciones
Cuadráticas
Resuelva las
siguientes ecuaciones cuadráticas:
|
a)
x2
|
+ 11x + 24 = 0
|
b)
|
x2
|
+ 3x − 72 = 0
|
|
|
c)
|
x2 − 2x − 15 = 0
|
d) x2 − x −
56 = 0
|
|||
|
e)
|
x2
|
− 17x + 52 = 0
|
f)
|
x2
|
+ 3x −154 = 0
|
II.
Resuelva por el método de fórmula, las siguientes
ecuaciones:
|
a)
x2 − 3x −
10 = 0
|
b)
7x2
|
−13x −1 = 0
|
|||
|
c)
6x2
|
+ 7x − 3 = 0
|
d)
|
9x2 + 9x
+ 52 = 0
|
||
|
e)
|
mx2
|
− nx + 1 = 0
|
f)
|
x2 − 4x −117 = 0
|
|
|
g)
|
x2 + 23x + 120 = 0
|
h)
|
2x2
|
+ 3x = 65
|
|
|
i)
|
4x2
|
− 12x + 9 = 0
|
j)
|
3x2 + 5x = 2
|
|
III.
Resuelva las siguientes ecuaciones:
|
a)
2x2 +
32x = 0
|
b)
|
7x2 − 56x = 0
|
c)
x2 −
7 = 0
|
||
|
d)
x2 − 4x =
0
|
e)
|
3x2
= 4x
|
f) 4x
= x2
|
||
|
g)
|
13x2
= x
|
h)
|
4x2 −108 =
0
|
i)
|
6x2 − 3x = 0
|
|
j)
|
5x2 −180 =
0
|
k)
|
5x2 − 9x = 0
|
l)
|
6x2
= 121
|
IV. Resuelva cada ecuación:
a) x( x − 5) = 6
c) 5x2 + 3 = x2 − 7x
e) x(x + 5) = x + 77
g) (x
+ 3)2 + (x − 1)2
= 40
i) (2x
− 1)2 − ( x + 1)2
= 9
b) x(x − 3) = 3x
d) (3x − 1)( x −
1) = 96
f) (2x − 3)2 = 16
h) (x − 2)(x + 2) = x −
4
j) (3x −1)(2x + 3) = (x + 9)(x + 8)
|
|
Para cada
problema: defina la variable, establezca la ecuación, resuelva la
|
||
|
|
ecuación y resuelva el problema.
|
|
|
|
|
a)
|
El doble
del cuadrado de un número es igual al cuadrado del sucesor del número más 14.
¿Cuál es el número?
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b)
|
La
diferencia entre los catetos de un triángulo rectángulo es 7cm. ¿Cuál
|
|
|
|
|
es el
perímetro del triángulo rectángulo si la hipotenusa mide 6 cm
|
|
|
|
|
menos que
la suma de los catetos?
|
|
|
|
c)
|
La suma de
dos números es 30 y su producto 221. ¿Cuáles son los
|
|
|
|
|
números?
|
|
d)
Un jardín rectangular mide 6m por
4m. Si se le rodea por una franja pavimentada de ancho uniforme cuya área es
equivalente a la del jardín, ¿Cuál es el ancho de la franja pavimentada?
TEOREMA DE PITAGORAS
I.
Calcula la longitud de la diagonal de un rectángulo cuyos lados miden 5
y 7 cm.
JJ.
Determina el largo de un rectángulo de 8 cm de ancho y 14 cm de
diagonal.
JJJ.
Calcula la altura de un triángulo equilátero de perímetro 48 cm.
V.
Un cuadrado tiene de área 36 cm2 , ¿cuánto mide su diagonal?¿y su perímetro?
e)
Calcula las áreas de las siguientes figuras:
a) b)
14 cm
cm8 3cm
5
cm
|
4cm
|
|
|
|
|
13 cm
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
g) De un
triángulo rectángulo se conocen la base, 5 cm, y la hipotenusa, 10 cm. Halla su área.
h) Halla
el área de un trapecio del que se conocen las dos bases, 11 y 3 cm,
respectivamente, y los lados que miden ambos 5 cm.
8. El
área de un rombo es 243 cm2. Si una diagonal mide 9
cm, ¿cuánto mide la otra diagonal?
9. La
altura de un campanario es de 15 m. Si yo me encuentro a 12 metros del pie del
campanario, ¿a qué distancia me encontraré de la parte más elevada?
Resolución de triángulos.
Razones
trigonométricas de un ángulo agudo.
∆
Consideraremos el triángulo rectángulo ABC tal que A = 90º
Recordemos
que en triángulo rectángulo cualquiera se cumplía el teorema de Pitágoras:
a2 = b2 + c 2
Definimos seno del ángulo α y lo representamos por sen α
I.
= AB = cateto opuesto
sen
CBhipotenusa
Definimos coseno del ángulo α y lo representamos por
cos α cos α = CA =
cateto contiguo
CB hipotenusa
Definimos tangente del ángulo α y lo representamos por tg α
|
|
|
|
|
cateto opuesto
|
|
tgα =
|
AB
|
=
|
||
|
|
cateto
contiguo
|
|||
|
|
|
CA
|
|
|
Razones
trigonométricas de un ángulo cualquiera.
Sea el punto Q(x,y)
Consideramos
la circunferencia de centro O que pasa por el punto Q y tiene radio r.
Consideramos
el ángulo α = ∠POQ Definimos:
senα = yr
cos α = x
r
Relaciones fundamentales entre las razones trigonométricas.
Dado un ángulo α se cumplen las siguientes relaciones:
sen2 α + cos2 α = 1
tgα = senα
cos α
Estas dos identidades se
llaman relaciones fundamentales de la trigonometría.
Uso de la calculadora:
Modos angulares de la
calculadora:
MODE DEG medidas
sexagesimales
MODE GRA medidas
centesimales
MODE RAD medidas en
radianes
Conociendo
el ángulo α se pueden calcular las
razones trigonométricas con las teclas sin cos
|
tan
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ejemplo:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Calcula tg43º25'50" ,
|
sen50º30’,
|
|
|
|
|
|||
|
Con calculadoras antiguas:
|
|
|
|
|
|
|||
|
43
|
º ’ ”
|
25
|
º ’ ”
|
50
|
º ’ ”
|
tan
|
=
|
0.9467
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50
|
º ’ ”
|
30
|
º ’ ”
|
sin
|
=
|
0.7716
|
|
|
|
Con calculadoras nuevas
|
|
|
|
|
|
|||
|
tan
|
43
|
º ’ ”
|
25
|
º ’ ”
|
50
|
º ’ ”
|
=
|
0.9467
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sen
|
50
|
º ’ ”
|
30
|
º ’ ”
|
=
|
0.7716
|
|
|
Conociendo las razones trigonométricas del ángulo α
podemos calcular el ángulo α con las teclas sin−1 cos−1 tan−1
Ejemplo:
Calcula
el ángulo α tal que senα = 0.34 . α = arcsin(0.34)
Con calculadoras antiguas:
|
0.34
|
sin−1
|
SHIFT
|
º ’ ”
|
19º52’37”
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Con calculadoras nuevas:
|
|
|
|
|||
|
sin−1
|
0.34
|
=
|
SHIFT
|
º ’ ”
|
19º52’37”
|
|
|
|
||||||
Resolver un triángulo es determinar los tres
lados y los tres ángulos.
Con
la ayuda del teorema de Pitágoras, de las razones trigonométricas, y de la
calculadora se puede resolver cualquier triángulo rectángulo. Veamos los
siguientes ejercicios:
Problema 1:
∆
Del triángulo rectángulo ABC tal que A = 90º conocemos a = 5cm, b = 4cm
Determina todos los lados, los ángulos y el área
del triángulo.
Aplicando el teorema de Pitágoras:
a2 = b2 + c 2
52 = 42 + c 2 , 25
= 16 + c 2 , c 2 = 9
Entonces c = 3 .
Aplicando cualquier razón trigonométrica podemos
calcular el ángulo C.
cos C = b , cos C = 4 = 0'8
a 5
Con la ayuda de la calculadora C = arccos 0.8 = 36º52'12"
Sabiendo
que los tres ángulos de un triángulo suman 180º ( A + B + C = 180º )
Tenemos que B + C = 90º , entonces B = 90º−C = 90º−36º52'12" =
53º7'48"
|
Por ser el triángulo rectángulo, el área es
|
S =
|
b ⋅ c
|
=
|
4 ⋅ 3
|
= 6cm2
|
|
|
2
|
||||
|
|
2
|
|
|
||
Problema 2:
Para
subir al Miquelet de Valencia utilizamos una escalera exterior de 55m, que
forma con la horizontal un ángulo de 67º36’. Con estos datos calcula la altura
del Miquelet.
Notemos
que la horizontal, y el Miquelet forman un ángulo recto. Sea x la altura del
Miquelet,
Utilizando la razón trigonométrica seno, sen67º36' = 55x
Entonces, x = 55 ⋅ sen67º36' = 50'85m
Problema 3:
El ángulo de elevación
de la cima de una torre medido desde un punto C de
La horizontal es de 22º. Avanzando 12 metros
hacia a la torre, volvemos a medir
El ángulo de elevación que es de 45º. Calcula la
altura de la torre.
Solución:
Dibujamos el gráfico siguiente:
Sea x = AD , sea h = AB
|
∆
|
tg22º =
|
|
|
h
|
|||
|
ABC
|
|
|
|
|
|||
|
12 + x
|
|||||||
|
Sea el triángulo rectángulo
|
∆
|
tg45º =
|
h
|
|
|
||
|
ABD
|
|
||||||
|
x
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||
|
Con la ayuda de la calculadora
|
tg22º = 0'4040, tg45º = 1
|
||||||
Consideramos el siguiente sistema de ecuaciones:
h = (12 + x)tg22º substituyendo h = x ⋅ tg45º
h = x
x = (12 + x) ⋅ 0'4040
h = x
x = 4.8480 + 0'4040x
h = (12 + x) ⋅ 0'4040
h = 8'1342m
x = 8'1342m
Entonces la altura de la torre es 8’1342m
Problema 4:
Calcula el lado y la apotema de un pentágono
regular inscrito en una circunferencia de radio 5cm.
Solución:
Sea r
= OA = 5 el radio de la circunferencia circunscrita al pentágono regular.
Sea
el lado del pentágono x = AB Sea la apotema del pentágono y = OC
El ángulo ∠AOB = 360º = 72º
5
∆
Consideramos el triángulo isósceles ABO
∆
La altura del triángulo divide al triángulo ABO en dos triángulos
rectángulos iguales.
∆
Consideramos el triángulo rectángulo CBO
|
El ángulo ∠COB =
|
72º
|
= 36º
|
|
|||||||||||
|
2
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
=
|
x
|
|
|
|
|
||
|
Sean,
|
|
|
=
|
|
AB
|
|
|
= y
|
||||||
|
|
CB
|
|
|
|
OC
|
|||||||||
|
|
|
2
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2
|
|
|
|
|
|||
Aplicando las razones trigonométricas:
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x
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x
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CB
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sen36º =
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=
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2
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sen36º =
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10
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OB 5
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0'5878 = 10x , entonces el lado del
pentágono mide x = 5'878cm
cos 36º = OC = y
OB 5
Usando la calculadora:
0'8090 = 5y , entonces la apotema
del pentágono mide y = 4'045cm
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